コイン投げで4回連続の表(解答)
最初の問題は，4回連続で表が出るまでのコイン投げ回数の期待値だが，方程式をたてて解くのが最も普通の手段だろう。
今，表がk回連続で出たとし，連続4回になるまでにあと何回くらいコインを投げるかという期待値をxkとする。すると，次のような連立方程式がたてられる。
x0＝1＋（x0＋x1）/2
x1＝1＋（x0＋x2）/2
x2＝1＋（x0＋x3）/2
x3＝1＋x0/2
例えば2番目の式x1＝1＋（x0＋x2）/2は，「表が1回出た段階でコイン投げを行うと，表が出て表が2回続いた状態になるか，裏が出て振り出しに戻るかのどちらかで，どちらも1/2の確率で起こる」ということを表現している。また，最後の式x3＝1＋x0/2は「表が3回続いた状態では，次に表が出ればコイン投げは終了であり，裏が出れば振り出しに戻る」という状況を表す。他の2つの式も同様だ。変数は4つあるものの簡単な形なので，この連立方程式を解くのは難しくはあるまい。
x0＝30，x1＝28，x2＝24，x3＝16
という解が得られる。最初の問題の答えはx0の値，すなわち30である。
一般にn回表が続いたらやめるという形の賭けの場合，コイン投げの平均回数は，連立方程式
x0＝1＋（x0＋x1）/2
x1＝1＋（x0＋x2）/2
……
xn−2＝1＋（x0＋xn−1）/2
xn−1＝1＋x0/2
を解いて，x0の値として得られるが，連立方程式の解は上のn＝4の場合を一般化して
x0＝2n＋1−2
x1＝2n＋1−4
……
xn−2＝2n＋1−2n−1
xn−1＝2n＋1−2n＝2n
と予想できる。実際にこの解が方程式を満足することは，代入して簡単に確認できる。
連続する表裏の出方が，あるパターンになるまでのコイン投げ回数の期待値を計算するには，通常はこの種の方程式をたてて解くというのが標準的な方法で，近道でもあろうが，パターンが「n回連続で表」というような簡単なものの場合，次のような巧妙な考え方でx0＝2n＋1−2という結果をアッという間に導くことができる。
お大尽の「n回連続のコイン投げを考えた場合に，表ばかりということは確率1/2nくらいで生じる」という考え自体はまったく正しいものだから，コイン投げを何回も行って，その記録からn回連続のコイン投げをでたらめに取り出した場合，どのパターンも均等に1/2nくらいずつ含まれていると考えられる。従って，一度n回連続のあるパターンが出たあとで，次にまた同じパターンが生じるまでの間隔（コイン投げの回数）は平均すると2nである。今，n回連続で表が出た直後とする。次に同じことが起こるのは何回コインを投げたあとだろうか？ 次のコイン投げで表が出たとすると，たった1回でそれが起こったことになる。また，次に裏が出たとすると，振り出しに戻ってしまうから，n回連続で表が出るのはさらにx0回コインを投げたあと，つまり1＋x0回後になると期待される。平均すると（1＋1＋x0）/2であり，これが2nに等しいのだからx0＝2n＋1−2という結論があっさり得られる。
次の坊主めくりの問題もまず正攻法で考えよう。100枚中の「坊主札」12枚の位置には100C12通りの可能性がある。そのうち最初の坊主札がi番目であるのは，全部で100−i個あるi番よりあとの位置を他の11枚の坊主札が占めるわけだから100−iC11通りの可能性がある。よって求める期待値は
……①
と計算できるが，実は，この式の分子は101C13に等しいことがわかる。なぜなら101C13を一列に並んだ101個のものの中から13個を選ぶ組み合わせの総数と考えると，選んだ13個のうち左から2番目としてi＋1番を選ぶやり方は，1番からi番までのi個の中から1番左のものを選び，i＋2番から101番までの100−i個の中から「左から3番目以降の11個」を選ぶことになり
i×100−iC11
通り存在するからである。左から2番目として何番を選ぶかをすべて考えると，結局，式①の右辺の分子が得られ，それは101C13に等しいということになる。よって期待値は
となる。
一般に，よくシャッフルされたn枚のカードの中にk枚の坊主札がある場合，順にめくっていって坊主札に出合うまでにめくらねばならない枚数の期待値は（n＋1）/（k＋1）である。
この結果は上のように考えれば正攻法でも得られるのだが，もっと簡便に導くこともできるので，それを述べよう。坊主でない札を1枚だけ取り上げ，その1枚がどの坊主札よりも先にめくられる確率を考える。それが1/（k＋1）であることに異存はあるまい。坊主でない札はn−k枚あるから，全体では（n−k）/（k＋1）枚の「非坊主札」がどの坊主札よりも先にめくられると期待される。よって，最初の坊主札がめくられたときには，この坊主札自身をそれに加えて，合計
枚がめくられていると期待される。
