パズルの国のアリス

いつまで続く?変身ショー(問題)

坂井 公(筑波大学アソシエイツ) 題字・イラスト:斉藤重之

 アリスが次の不思議の国と鏡の国の合同演芸会の出し物についてグリフォンと相談しながら宮廷内の公園を散歩していると,近くの花園や草むらが何やらちらちらする。以前もこのようなことがあったような……といぶかしんでいたら,案の定,頭上から「おーい,久しぶり!」という声が聞こえ,近くの枝の上にチェシャ猫の顔が口から徐々に現れた。さらに,チェシャ猫が「みんな,紹介するぞ。アリスとグリフォンだ」と呼びかけると,草や花に紛れて隠れていたカメレオンたちがぞろぞろと姿を現した。

 見ると,いつもの赤,青,緑のカメレオン(2009年11月号「みんな一緒に“緑” に変身!」,『パズルの国のアリス 美しくも難解な数学パズルの物語』に収載)以外に黄色のカメレオンも交じっている。「あれ,黄色にも変われるようになったんですね」とアリスが言うと,「うん,まあそうも言えるが,この子たちはウィルとは少し違う種族で,いとこ筋に当たるんだ」とチェシャ猫。

 リーダー格の緑のカメレオンが進み出て,説明を引き継ぐ。「こんにちはアリスさん,僕はフィルって言います。僕たちには変われる色が生まれたときから4色あるんですが,ウィルくんたちと同じで少し不器用なところがあって,幼いうちは別々の色の3匹が集まって一斉に残りの色に変化することしかできないんです」と言って,赤と青のカメレオンを1匹ずつ呼び寄せた。そして,3匹が手をつなぐと,一斉に黄色に変わった。

 「それでまたみんなで同じ色になる練習ですか?」とアリスが問うと,「うん,それも考えたんだけど,うまくやるには各色の匹数の制限が強くてやりにくい」とチェシャ猫。「そこで,今考えているのは,全員が一列に並んで色違いの3匹並びが一斉に変身する。それを続けると,花火みたいに色がパッパッと変わって,ちょっと面白いショーになるだろう。実は,今度の合同演芸会の出し物にどうかなと思っているんだ。ところが実際やってみると,最初にどう並んで,どういう手順で進めても,やがて色違いの3匹並びというのがなくなってしまって,隣り合う2匹を入れ替えたりしないとショーが続けられなくなるみたいなんだ。何かうまいアイデアはないかな?」

 それを聞いていたグリフォン,しばらくじっと考えていたが,やがて,はたと手を打ち,「そうか,全員が一列に並んでいるのが問題なんだ。両端をつないで輪のようにしてしまえばよい。見栄えの問題はあるが,これならうまくやれば色違いの3匹並びがなくなることはないから,好きなだけショーを続けられるよ」。

 このあたりで読者への問題である。全員が同じ色になるためには,チェシャ猫の言うとおり,各色の匹数に制限がある。まず,ウォーミングアップとして,この制限がどういうものかを考えていただきたい。それには前述の「みんな一緒に“緑” に変身!」が参考になるだろう。

 次に,グリフォンが言うように,全員がリング状に並ぶとこの色変わりショーをいつまでも続けることができるが,カメレオンが全部で16匹の場合,その具体的な色配置と色変わりの手順を考えていただきたい。

 最後の問題は,かなりの難問になると思うが,一列に並んでいる場合にはこの色変わりショーをいつまでも続けることができないことを証明してほしい。

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