自動ピザカッター（問題）
鏡の国は今，ちょっとしたイタリア料理ブームだ。といっても，高級料理店への客足はそれほど多くないようで，繁盛しているのはもっぱらピザを中心に提供している店だ。
東ナイト駅の近くにも，ピザ店がオープンした。看板メニューは大きなピザだが，焼き上がった丸いピザが大きすぎて切るのが大変ということで，自動ピザカッターを作ってほしいという依頼が白の騎士のところに来た。一切れのサイズは気にしなくて構わないから，とにかくバサッと切り分けてくれるものがよいという。そこで，白の騎士は，丸いピザの周の2点を選び，その2点を結ぶ直線に沿って切るというカッターを開発した。
そのカッターで何回か切ったピザは，一切れのサイズも形もマチマチで，放射状に切られたものよりも面白いと評判もよく，白の騎士もピザ店主も気をよくしている。実際，丸いピザがどのような形に，いくつに切り分けられるかというのは運任せみたいなもので，カッターから出てくるまでわからない。
さて，読者にはまずウォーミングアップとして，丸いピザをこのカッターでn回切ると，最大でいくつのピースに分かれるかを考えていただきたい。また，カッターが丸いピザの周の2点を「一様ランダムに」選んで切っているとしたら，n回カットすると平均でいくつのピースに分かれるだろうか？
実は，白の騎士は別のカッターも試作していた。そのカッターは丸いピザの周上の点を同時にm個選び，その2点ずつを結ぶ直線すべてに沿って一気に切るというものだった。効率よくカットできるが，一切れが小さくなりすぎることが頻繁に起こり，採用されなかった。参考のため，mが3，4，5の場合のカット例を下図に示す。ピース数はそれぞれ4，8，16だが，一般のmの場合，このカッターによるピース数を表す式はどうなるだろうか。なお，3本以上の切断線が交わるというようなことは，周上でしか起こらないものとする。
答えは，2019年6月号に掲載
