パズルの国のアリス

大工と白騎士,鏡の国の面子をかけて(解答)

 直径を測ることなど,たとえばノギスのように平行な2枚の平面で球を挟むような道具があれば簡単だが,それなしでコンパスと定規だけで計測する方法を工夫しようという問題だ。

 ともかく,最初にできそうな唯一のことは,適当にコンパスの半径を取って球面の1点Aを中心に球面上に円cを描くことだ。球の中心OとAとを通る断面図を描いて考えるとわかりやすいかもしれない(下図)。

 円cと断面が交差する点をP,Qとしよう。図のAPとAQがコンパスの半径で,球面に描かれた円cの直径はPQだから,APの2倍よりやや小さい。APは開いたコンパスの半径だからわかっている。そこでPQを平面上に描くことができれば,その垂直2等分線を引き,Aを作図できる。そうすると3角形APQの外接円の中心としてOを求めることが可能になるので,球の半径AOが描ける。

 こうして,元の問題はPQを平面上に作図するという問題に帰着させられた。PQを描くために,円c上のどこかの点(たとえばP)を中心にして,同じ半径の円c′をさらに球面上に描いてみよう。c′はAを通り円cと2点で交わるので,それをXとYとしよう。概略,下図のようになる(読者は,これが平面図ではなく,球面上に描かれた図だということに注意されたい)。

ここで,P,Q,X,Yは円c上すなわち同一平面上にあることがポイントだ。そこで,コンパスの足の幅をXYに合わせて開き,まず線分XYを紙(平面)の上に写し取る。そしてコンパスの足の幅をAPに戻して,写し取ったXとYとを中心とする円をそれぞれ描けば,その交点としてPのコピーが平面上に得られる。最後に3角形XPYの外接円を描けば円cが平面上に復元され,その直径としてPQも得られる。

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