パズルの国のアリス

勝負の決着を早めるには(解答)

 アリスの提案による場合,ダムが勝つ可能性が5/20=1/4だということはすぐ納得できるが,元のやり方を続けた場合も同じだろうか? その計算をするために,「あとn回コインを投げて,そのうちダムがa回,ディーがb回勝ったとして,そのときに勝負が決着したとすると……」などと考えていくのは,収拾がつかなくなりそうだ。ましてや,実際に採用された折衷案の場合に,15枚のカードをどうグループ分けしてどういう順に対戦させるのがよいかを,相手の戦略と対比させながら考えていくのは,非現実的である。

 読者の予想もそうだろうが,この場合のダムの勝率は,元のやり方を続けても1/4だし,折衷案の場合にはどのようにグループ分けしてそれらをどういう順に戦わせてもやはり1/4である。

 この結論を簡単に得るために,気づくべきことは,1回ごとの個々の勝負が公平だということだ。「公平」とは,この場合次のように考えるとわかりやすい。各勝負の前後でのカードの所有枚数を考え,その増減の期待値を計算してみよう。すると,例えば,元のやり方では,ダムは勝つ(確率1/2)とカードが1枚増え,負ける(確率1/2)とカードが1枚減るので,その期待値は1×(1/2)+(−1)×(1/2)=0である。折衷案の場合にダムがa枚のグループとディーがb枚のグループで対戦した場合はどうだろうか。ダムが勝つ〔確率a/(ab)〕とカードがb枚増え,負ける〔確率b/(ab)〕とカードがa枚減るから,その期待値は

だ。つまり,1回の勝負のカード増減枚数の期待値はどの場合でも0であり,そのことを称して「公平」と言ったわけだ。さて,期待値0の賭け事を何回行おうとも,その期待値は0である。従って,どういう経過をたどって勝負が行われようと,最終的に決着がついたとして,ダムの勝率をaとすれば,そのときダムが得たカードは15枚であり,逆に,ダムが負ける確率は1−aでそのときに失ったカードは5枚だから,

でなければならない。これを解いてa=1/4だという結論が得られるが,もちろんこれはグループ化や対戦順などの戦略にはよらない。

 この「公平な賭け」という概念は,数学的にはマルチンゲール性と呼ばれるもので,巧妙に適用すればもっといろいろな場合に応用が利く。普通,コイン投げという場合,表裏はともに1/2の確率で出るというのが常識だが,いたずら好きの神様がいて,ダムが今はやや劣勢に立っているのを見て,ちょっと細工して表のほうが少し出やすくしたとしよう。この場合も,ディーやダムが最終的に勝つ確率はそれほど面倒でもなく計算できるのだ。それには,カードの価値をうまく調整して,賭けが公平性を持つようにしてやればよい。いたずらな神様のせいでコイン投げで表が出る確率がpになった場合,ダムが持つn枚のカードの価値を(1−pn/pnと考えることで,賭けは「公平」になるのだ。実際,コイン投げで表が出れば(確率p)ダムのカード枚数はn+1枚になり,裏が出れば(確率1−p)ダムのカード枚数はn−1枚になるから,1回のコイントス後にダムが持つカードの価値の期待値は

となるが,簡単な計算でわかるようにこの値は(1−pn/pnだからコイントスの前後でカードの価値の期待値は変わらない。ということは勝負が終了した時点での期待値も,最初にダムが持っていた5枚分の価値(1−p5/p5と変わらない。最終的に勝った時のダムのカードの価値は(1−p)20/p20になり,負けたときのカードの価値は1になる。だから,ダムが勝つ確率をRとすれば,反対にディーが勝つ確率は1−Rであり,従って

が成り立つはずだ。これをRについて解いて,ダムの勝率は

になることがわかる。

 最後の問題は,やり方を変えなかった場合のコイントスの回数の期待値だが,これも方程式によるのが有効だろう。一般に2人がそれぞれa枚,b枚のカードを持っている場合に,あと何回コイントスを行えばどちらかが0枚になるか,その期待値をNab)とおき,方程式を立てよう。abの一方が0ならば,もうコイントスは必要ない,すなわちNa,0)=N(0,b)=0である。ab>0の場合,コイントスを1回行うとカード枚数はそれぞれ確率1/2で(a+1,b−1)か(a−1,b+1)に移行するので,

となるから,さまざまなabに関してこれらを連立させて解けばよい。これらは線形なので解くのに困難はないが,abの値が大きいと,未知数が多く,相当に手間がかかると覚悟されるが,abが比較的に小さい場合を解いてみると,幸いにNab)=abではないかと予想される結果が得られる。実際,先の式に代入するとa×0=0×b=0,

となるので,この予想は正しいことがわかる。よって,ダムが5枚,ディーが15枚の場合,あと5×15=75回くらいコイントスを行うと勝負がつくと期待される。

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