距離100メートル隔たった兵士たち（解答）

　女王に「平面で考えよ」と指定されているので駄目だが，次元を上げてもよければ，すべてのペアの距離が100mになるように兵士を配置することが可能だ。例えば10人の兵士ならば9次元空間に配置することで，全部で（10×9）/2＝45組あるペアのすべての距離を100mにできる。ということは，（可能性としては）n人の兵士で距離100mのペアをn（n−1）/2組作り出せるかもしれない。問題は，2次元平面に配置する場合に，この数がどこまで減ってしまうかを定めることだ。

　実は，n≧3の場合，女王の条件を守ったn人の平面配置で距離100mのペアをn組作り出すことは容易だ。例えば，nが奇数の場合，正n角形の頂点をなすように各兵士を配置し，一番長い対角線を100mにしておけばよい。nが偶数の場合，正n角形の頂点に配置するというのはうまくいかないが，n−1は奇数だから，n−1人を先のように正n−1角形の頂点上に配置しておいて，最後の1人を一番離れた兵士からの距離が100mになるように配置すればよい。

　この構成は，もっと一般的に議論することができる。つまり，n人の平面配置で距離100mのペアがn組できているとき，もう1人増やすことで，そのようなペアをn＋1組に増やすことができる。これは簡単で，既に配置されているn人のうち誰でも1人を選び，そこからは100ｍで，他のn−1人からは100mを超えない位置に，新たに増やす1人を配置すればよい。厳密に言えば，そのような位置が存在することを証明する必要があるが，他のn−1人は相互に最大でも100mしか離れていないから，簡単にそのような位置は見つかる。

　だが，逆にどの2人もせいぜい100mしか離れていないということが，1人増やして距離100mのペアを新たに2組以上作り出すことを不可能にしているのだ。結論を述べると，どの2人もせいぜい100mしか離れていないようにn人を平面上に配する場合，ちょうど100m離れているペアは，最大でn組しか存在できない。したがって，スペードの兵士10人ではそのようなペアは10組しか作れない。

　そのことを証明するのに，まず，平面上に4点A，B，C，Dがあり，ABとCDの距離が100mとしよう。このとき他の組AC，AD，BC，BDがいずれも100m以下ならば線分ABとCDは交点を持つことに注意したい。この事実は，直感的に明らかな気もするが，あえて証明するなら例えば次のような論法で可能だ。点CもDも，AとBから100m以内の距離にあるので，A，Bを中心とする2つの円の内側，つまり右上の図の青い領域（境界を含む）内にある。ところがCDの距離も100mだから，CとDの両方が線分ABに対して同じ側にあるわけにはいかず，図のように互いに反対側にあるか，もしくはC，Dの一方がAかBに一致していなければならない。いずれにせよCDとABは交点を持つ。

　さて，この事実を踏まえると，n人の平面配置では距離100mのペアがn組しかできないことが次のように証明される。今，あるnについては，n人で距離100mのペアがn＋1組以上できたとし，そのようなnの最小値を考える。距離100mのペアはn＋1組以上あり，点はn個しかないのだから，3組以上に含まれる点が存在する。その点をPとし，Pから100m離れた点をA，B，Cとする。A，B，C同士も最大100mしか離れることができないのだから，線分PA，PB，PCのなす角度はせいぜい60°だ。そして，そのうちの1本（例えばPB）は他の2本の間にあるということになる。このときBは，P以外のどの点とも距離で100m離れることができない。なぜなら，BQが100mだとすると，先の事実より，BQはPAとPCの両方と交点を持たねばならないが，これは不可能だからだ。

　したがって，いま考えている配置から点Bを除くと，点はn−1個になるが，距離100mのペアはPBが失われるのみでn組以上が残る。これは，nを，n＋1組以上のペアができる最小値としたことに矛盾する。

参考にした本
Mathematical Puzzles:A Connoisseur's Collection（2004），
Mathematical Mind-Benders（2007） P. Winkler。
邦訳は『とっておきの数学パズル』（2011年），『続・とっておきの数学パズル』（2012年），ピーター・ウィンクラー著，坂井公・ 岩沢宏和・小副川健訳，日本評論社。