パズルの国のアリス

サイコロで複数賭け(解答)

坂井 公(筑波大学) 題字・イラスト:斉藤重之

 最初の問題でポーンの1人が主張している計算が正しいためには,彼が分類した3つの場合が排反であることが必要だ。ところが,赤黄が当たるという事象と黄青が当たるという事象は排反でない(赤黄青の全部が当たるという事象がどちらにも含まれる)。この場合の確率を計算するには,結局,2つ以上が当たりとなる場合が何通りあるかを数えるのが一番手っ取り早い。全部が当たる場合が1通り,赤黄が当たり青が外れる場合が7通り,同様に赤青だけが当たる場合,黄青だけが当たる場合がそれぞれ7通りで,計22通りである。一方,全体では8×8×8=512通りあるから,子が勝つ確率は22/512=11/256である。だから,正しい掛け率は11対256でなければならない。

 第2の問題は,予想値をn組提示したときには,払戻金が1/nになる以上,勝つ確率がn倍にならないと割に合わない。つまり,子の損にならないためには,各予想値で勝つという事象が互いに排反になるように複数組の予想値を提示できなければならない。実は,8組までなら,予想値が排反になるように選べる。例えば〈1,1,1〉,〈2,2,2〉,…,〈8,8,8〉というふうにぞろ目のみで8組の予想値を選べば,子が勝つのはどれか2つのサイコロの目が一致した場合であり,176通りある。これは22通りの8倍であり,払戻金が1/8になっても損にはならない。しかし勝ちが排反になるように予想値を9組以上選ぶことはできない。実際,今,9組の予想値があるとすると,その中には赤のサイコロの予想が同じものがある。その予想値を〈ryb〉と〈ry‘,b‘〉とすれば,サイコロの目の出方で,〈ry‘,b〉や〈ryb‘〉は,このどちらの予想値にも合致するので排反ではありえない。

 さて,最後の問題である。どれかが確実に当たるための予想値のセットには,最低でも32組の予想値が必要だというのが答えである。具体的にその32組の例を挙げるなら,まず予想値の組〈ryb〉としてryb ∈{1,2,3,4}かつryb≡0(mod 4)なるものをすべて選ぶ。この場合,rybのうち2つは4種の数値から自由に選べるが,残り1つは最後の条件により自動的に決まるので,16組ある。これをA群としよう。同様にryb∈{5,6,7,8}かつryb≡0(mod 4)なるものをすべて選ぶ,これをB群とする。B群も16組あり,A群とB群合わせて32組である。実際,このA群とB群を合わせたセットを使って複数賭けをやると,どれかは必ず当たる。というのは,実際に3つのサイコロを振れば,4以下の目が2つ以上出るか,5以上の目が2つ以上出る。容易にわかるように,前者の場合A群の中に合致するものがあり,後者の場合B群の中にある。

 難しいのは,31組以下の予想値セットでは,サイコロの目の出方すべてをカバーすることはできないという証明である。今,31組の予想値でサイコロの出目を全てカバーできたとする。1つのサイコロの目は8種だから,31組の予想値の中で赤のサイコロの予想としては3回以下しか出てこない目があるはずだ。赤の目がrという予想値がちょうど3組だけあるとして(2組以下ならもっと簡単に矛盾が見つかる),その予想値の集合をS ={〈ry1b1〉,〈ry2b2〉,〈ry3b3〉}としよう。Y={y1y2y3},B={b1b2b3}とし,R‘={1,2,…,8}╲{r},Y‘={1,2,…,8}╲YB‘={1,2,…,8}╲Bとすると,{r}×Y‘×B‘に含まれるサイコロの出目25種は,S以外の予想値にカバーされなければならない〔注:PQは,集合Pから集合Qに属する要素を引いた集合を表す。P×Qは直積集合,すなわち集合Pと集合Qの要素の組み合わせを表す。たとえばP={1,2},Q={ab}のとき,P×Q={〈1,a〉,〈2,a〉,〈1,b〉,〈2,b〉}〕。したがって,サイズ25の予想値の集合TR‘×Y‘×B‘に含まれるものがある。ここで,サイコロの出目で,赤の目がrでなく,R‘×Y‘×B‘に含まれず,Sにカバーされないというものの数を数えてみると7×(64-3-25)=252種がある。これらの出目のうち,1つのTの要素がカバーできるのは高々6個だから,252-6×25=102種の出目は,SでもTでもない予想値にカバーされねばならないが,そういう予想値は31-3-25=3組しかなく,1つの予想値がカバーする出目はきっかり22種であったから,22×3=66<102により,矛盾する。

参考にした本
Mathematical Puzzles:A Connoisseur's Collection(2004)
Mathematical Mind-Benders(2007) P. Winkler著

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