パズルの国のアリス

スペードのエースの忘れ物(解答)

坂井 公(筑波大学)題字・イラスト:斉藤重之

 

解答例まず,2010年4月号に示した解答例で 説明した考え方のポイントを思い出していただこう。つまり,兵士同士が鉢合わせしたとき,互いに向きを変えようと,すれ違おうと,全体としての動きは同じ だということだ。ということは,最初,w人が西向きに歩き出し,e人が東向きに歩き出したならば,最終的に西の守衛所に入る兵士の人数はwであり,東の守衛所に入る兵士の人数はeである。

次にもう1つのポイントも思い出していただこう。それは,兵士10人の位置関係は,何回鉢合わせしても変化しないということだ。したがって,西の守衛所に入るw人は,初期位置で西からw人目までの兵士である。

よって,西から5人目の位置にいたエースが西の守衛所に入るための必要十分条件は5≦w,すなわち西向きに歩き出した兵士が5人以上いることであり,その数にはエース自身も含まれるから,エース自身,最初は西に向かったほうが良いということになる。

その場合に,エースが首尾よく西の守衛所に入れるためには,他の9人の中に西向きに歩き出す人が4人以上いることが必要だから,その確率は

9C49C59C69C79C89C9)/29= 382/512

で約0.746である。ちなみにエースが東に向かって歩き出すと,西の守衛所に入るためには,他の9人のうち5人以上が西向きに歩き出すことが必要で,その確率はちょうど0.5だから,その差は無視しがたいほど大きい。

次に,エースが西の守衛所に入り,かつ最後の兵士になる確率を計算しよう。もし西の守衛所に入った兵士が6人以上いた場合,5番目に入るエースが最後になるはずはないので,w=5でなければならないことがわかる。また,最後の兵士が東の守衛所に入るか西の守衛所に入るかは,初期位置において向かった方向の守衛所から一番離れていた兵士が,どちら向きだったかだけで決まる。西から5番目の位置にいたエースが西向きに歩き出したという条件があるので,微妙な差があるとは考えられるが,東に歩き出した兵士と西に歩き出した兵士が5人ずつの場合,一番離れている守衛所に向かった兵士が東と西のどちら向きかはほとんど五分五分だから,結局,エースが最後になる確率は

9C4/29×1/2

で約0.123である。

同様に,エースが東の守衛所に入り,かつ最後の兵士になる確率は,

9C3/29×6/10

で約0.098だから,両方をあわせて,エースが最後になる確率は約0.221である。

西から5番目の兵士(エース)が西向きに歩き出したという条件を加えて正しく評価すると,この値がどの程度変わってくるかは,読者に検討をお願いしたい。

 

参考にした本:Mathematical Puzzles: A Connoisseur’s Collection(2004)Mathematical Mind-Benders(2007) P. Winkler著

 

 

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