正八面体サイコロで賭けをしよう（問題）

赤のポーンたちが市松模様の絨毯の上で，輪になってガヤガヤと楽しそうに騒いでいる。何にでも好奇心旺盛なアリスが思わず覗き込むと，1人が手の中からサイコロのようなものを転がした。よく見ると，確かにそれはサイコロではあるが，通常の立方体のものではなく，ピラミッドを2つ合わせたような形，つまり正八面体形をしている。もちろん各面には普通のサイコロのように数字が振ってある。

「お，7。へへ，また俺の勝ちだね。やっぱりセブンは，ラッキーナンバーだ」とポーンの1人が言う。

「面白い形のサイコロですね」と思わず口を出すアリス。「あたしの国でも，見たことがあるような気はするけど……でも，普通サイコロは四角だわ」。

「ああ，そうかもしれないね。でも，鏡の国では，正八面体のサイコロもよく使うよ。君も知っての通り，この国は何でもチェス盤構造をしているので，8が単位になっていると便利なのさ。実際，俺たちもちょうど8人いるから，立方体サイコロで賭けをやろうとすると，ちょっと面倒だ」

それはそうだろうと，アリスはうなずく。「ところで，どういう賭けなんですか？」

「簡単だよ。あらかじめ，俺たちがそれぞれ違うサイコロの目の1つに賭ける。賭け金はいつも同じで，自分の目が出た者の総取りだ。それを何度かやるだけさ。1回も勝てないで終わる奴がいると気の毒だから，普通は全員の目が最低1回出たところで終わりにするんだ」

もう1人のポーンが口を挟む。「だから，終わってみると，あんまり差が出ないことも多いんだが，今日はひどいね。俺の目は6なんだけどもう20回も振っているのにまだ一度も出ない。もう破産しそうだよ」。

さて，20回続けて6以外の目が出る確率を計算するのは，ウォーミングアップとしても読者には簡単すぎるだろう。そこで次のような問題はいかがだろうか？　全員の目が最低1回は出たところで賭けを終えるものとしたら，この賭けでは平均何回八面体サイコロを振ることになるだろうか？

もちろん，サイコロに細工はなく，各面が均等に出るものとする。