ウイスキーのモルト比率（解答）

解答例：2枡のブレンドを繰り返すことで，分母が2ⁿとなる有理数を比率に持つ酒なら，すべて作れるのは明らかだろう。そうすると，モルト比率1/3の酒は，0（グレーン100％），1/4，3/4を1枡ずつブレンドすればよい。同様に1/5の酒は，1/16，１/8，3/16， 1/4，3/8をブレンド，2/7の酒は，1/16，1/8，3/16，5/16，3/8，7/16，1/2をブレンドすればよい。

実は有理数比の酒ならばすべて作ることができる。体系的な作り方を1つ紹介しよう。作りたい比率をp/qとする（p/qはこれ以上，約分できない分数）。 p/q>1/2のときは，モルトとグレーンの役割を交換して考えればよいから，2p<qと仮定してよい。正の整数nを適当にとって，N=2ⁿpという形の数を考える。このNはq(q-1)/2以上ならば何でもいい。こうするとNは，

N=m₁＋m₂＋…＋m_q

(0≦m₁<m₂<…<m_q)

のq個との異なる0以上の整数の和に分割できる。このとき比率p/qの酒は，比率m₁/2ⁿ，m₂/2ⁿ，…，m_q/2ⁿの酒を等量ブレンドすれば作れる。

p=3，q=7の場合，つまり3/7を例に説明しよう。7×6×1/2=21<24=2³×3 だから，N=24とすると，Nは7つの異なる0以上の整数の和に分割できる。たとえば，N=24=0＋1＋2＋3＋5＋6＋7である。このとき，(0＋1 ＋2＋3＋5＋6＋7)×1/8=3だから，0/8～3/8と5/8～7/8までの7つの数の平均は3/7だ。したがって比率3/7の酒は，0/8（グレーン100％），1/8，2/8，3/8，5/8，6/8，7/8の酒を等量ブレンドすればよい。

2p<qを仮定したのは，最大の比m_q/2ⁿ（上の場合，7/8）が1を超えないことを保証するためだ。

N=q(q-1)/2のとき，上のNの分割は0＋1＋2＋…＋(q-1)となり，その最大はq-1だ。N>q(q-1)/2なら、余剰分を各数になるべく均等に配分すれば，最大数は

m_q=N/q-(q-1)/2＋(q-1)=N/q＋(q-1)/2

（この式では切り上げの記号）となる。ゆえにm_q/2ⁿ≦1を言うには，N/q＋(q-1)/2≦2ⁿを示せばいい。Nの決め方より(q-1)/2≦N/qだから，N/q＋(q-1)/2≦2N/q=2ⁿ×2p/q≦2ⁿである。

 

 

 

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