空間における反転法を使う。２つの球O1とO2の接点を中心とし，平行平面に反転する。このとき，S1（i=1，2，….，n）は大きな球の反転である球を取り巻き２つの平行平面に接する球の鎖となる。この平行２平面の中間にさらに平行平面を考え，これとこれらの球の切り口を考えると１つの円を囲んで同じ半径の円が取り巻いていることになる。これらは６個に限ることは明らかである。すなわち答えは６個である。
さらに反転の性質より，反転された図形で４個の円の中心On(tn)(n=1，2，3，4)が長方形を作るときは元の円の半径について逆数の和が等しい。したがって，次の関係式が成り立つ。
この問題はソディーの「六球連鎖」の定理として有名である。Frederic Soddy（1877-1956）が1936年に発表した定理だが，和算家はそれより約100年前の1822年にすでに神奈川県の算額に発表していた。
和算家の解法では，空間におけるデカルトの定理を利用しているが，これ自体が複雑かつ難解なのでここでは反転法を用いた。この空間におけるデカルトの定理は現代でも非常に難しく，これを和算家が得ていたことは非常な驚きである。しかもその証明に約10頁を費やして木版出版しているのである。
反転法や和算家が使った空間におけるデカルトの定理については，『日本の幾何学』（深川秀俊・Dan Pedoe著，森北出版）を参照のこと。
図版: Brian Christie