算額の問題６の答え

　和算家は「ケージーの定理」を知っていて，それを利用している。ケージーの定理は以下の通り。
１つの円に接する４個の円C_i（i= 1，2，3，4）に関して，接点間の距離t_ij（i, j = 1，2，3，4）には次の関係がある。

t₁₂t₃₄ + t₁₄t₂₃ =t₁₃t₂₄

　この問題では，ａを正方形の辺の長さとし，r₁，r₂，r₃，r₄をそれぞれ右上，左上，左下，右下のオレンジの円の半径とする。ケージーの定理を利用したいので，それぞれ２つの円の接線の長さを求める。O₁とO₂，O₂とO₃，O₃とO₄，O₄とO₁の４つの接線の長さは簡単に求められる。O₁とO₃については中心からの距離が必要になるが，これはピタゴラスの定理（三平方の定理）から求められる。ケージーの定理を使うことにより，次の関係を得る。

これを二次方程式にして解けば，次の最終結果を得る。

図版: Brian Christie

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