和算家はこの問題を解くのに,まず,青い円の中心を通り,緑の円の直径に垂線を下して,この垂線が問題にある線分と異なると仮定する。すなわち,青い円の中心から異なる2つの線分が直径上の異なる点で交わっているとする。このとき,和算家はこれらの間の距離が必ず0(ゼロ)になることを証明している。このことは2つの線分が一致していて,問題に言う直交条件を満たしていることを示している。
図のようにO3よりACに垂線を下し,その足をPとする。BPに関する関係式を求め,BP=0を示す。
角O3TH=角MNB=角MNC=角NACなので,CN/AC=O3H/TO3=MC/CNを得る。
したがって,TO32=AC2・O3H2/CN2=AC・O3H2/MC=2r2・r32/(r2-r1)
次に,三角形O1O2O3において,
cos(角O3O1O2)={(r1+r3)2+(r2-r1)2-(r2-r3)2}/{2(r1+r3)(r2-r1)}
BP=O1P-O1B=(r1+r3)cos(角O3O1O2)-r1
=(r2+r1)r3/(r2-r1)-2r1
O3P2=(r1+r3)2-(r1+r3)2cos2(角O3O1O2)
=4r2r3(r1r2-r12-r1r3)/(r2-r1)2
となる。三角形BPTとBMNは相似なので
BP・MN=BM・PT=BM・{O3P-(O3P-PT)}=BM・(O3P-TO3)を得る。
したがって,
BP・MN・(O3P+TO3)=BM・(O3P2-TO32)
=BM{4r2r3(r1r2-r12-r1r3)/(r2-r1)2-2r2r32/(r2-r1)}
=BM・2r2r3[{-r3(r1+r2)+2r1(r2-r1)}/(r2-r1)2]
=-BM・2r2r3/(r2-r1){r3(r1+r2)/(r2-r1)-2r1}
=-2r2r3・BM・BP/(r2-r1)
こうして,
BP・{MN・(O3P+TO3)+2r2r3BM/(r2-r1)}=0からBP=0を得る。
これは,和算家の解答である。
図版: GRID