算額の問題５の答え

 

 

 

 

 

 

 

　和算家はこの問題を解くのに，まず，青い円の中心を通り，緑の円の直径に垂線を下して，この垂線が問題にある線分と異なると仮定する。すなわち，青い円の中心から異なる２つの線分が直径上の異なる点で交わっているとする。このとき，和算家はこれらの間の距離が必ず０（ゼロ）になることを証明している。このことは２つの線分が一致していて，問題に言う直交条件を満たしていることを示している。

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図のようにO₃よりACに垂線を下し，その足をPとする。BPに関する関係式を求め，BP=0を示す。

 

　角O₃TH=角MNB=角MNC=角NACなので，CN/AC=O₃H/TO₃=MC/CNを得る。

　したがって，TO₃²=AC²･O₃H²/CN²=AC･O₃H²/MC=2r₂･r₃²/(r₂-r₁)

　次に，三角形O₁O₂O₃において，

cos(角O₃O₁O₂)={(r₁+r₃)²+(r₂-r₁)²-(r₂-r₃)²}/{2(r₁+r₃)(r₂-r₁)}

BP=O₁P-O₁B=(r₁+r₃)cos(角O₃O₁O₂)-r₁

　=(r₂+r₁)r₃/(r₂-r₁)-2r₁

O₃P²=(r₁+r₃)²-(r₁+r₃)²cos²(角O₃O₁O₂)

　　=4r₂r₃(r₁r₂-r₁²-r₁r₃)/(r₂-r₁)²

となる。三角形BPTとBMNは相似なので

　BP･MN=BM･PT=BM･{O₃P-(O₃P-PT)}=BM･(O₃P-TO₃)を得る。
したがって，

　BP･MN･(O₃P+TO₃)=BM･(O₃P²-TO₃²)

=BM{4r₂r₃(r₁r₂-r₁²-r₁r₃)/(r₂-r₁)²-2r₂r₃²/(r₂-r₁)}
=BM･2r₂r₃[{-r₃(r₁+r₂)+2r₁(r₂-r₁)}/(r₂-r₁)2]
=-BM･2r₂r₃/(r₂-r₁){r₃(r₁+r₂)/(r₂-r₁)-2r₁}
=-2r₂r₃･BM･BP/(r₂-r₁)

こうして，
　BP･{MN･(O₃P+TO₃)+2r₂r₃BM/(r₂-r₁)}=0からBP=0を得る。

これは，和算家の解答である。

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図版: GRID

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