算額の問題３の答え

　この問題を和算家がどのように解いたかはまだ知られていない。しかし，解析幾何を使えば，和算家が得たのと同じ答えが得られる。
楕円の方程式をx²/a² + y²/b² =1 とし，点Ｐの座標を (a cos θ, b sinθ) とする。ここで，2a，2b が楕円の長軸と短軸。このとき，法線の方程式を用いて，成分PQの長さを求められる。長さを最小にするために，微分した式を０（ゼロ）と置くことにより，和算家の述べた結論に達することができる。

PQ = 2ab(a²sin²θ + b²cos²θ)^3/2 /(a⁴sin²θ + b⁴cos²θ)

ここで，dPQ/dθ= 0 から，

　sin θcos θ(a⁴sin²θ-2a²b² + b⁴cos²θ)= 0

あるいは

　sin²θ= b²(2a² -b²) / (a⁴ – b⁴)

これは√2･b＜a のときに，次のような解になる。

Images: Brian Christie

算額の問題に戻る