懸賞つき特別企画パズルの挑戦！：日経サイエンス

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山崎秀記（一橋大学）／坂井公（筑波大学）

※受付は終了いたしました。多数のご応募ありがとうございました。
受賞者は日経サイエンス５月号（３月25日発売）および３月25日ごろ更新予定の当ウェブサイトで発表します。各問についてのユニークな解答も紹介する予定です。

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日経サイエンスは今号で創刊400号を迎えます。これを記念して，400になる数式を募集します。お寄せいただいた答えから，優秀賞１人には図書券１万円分，佳作の10人には同5000円分を贈呈いたします（同レベルの答えを多数いただいた場合は抽選とします）。ぜひ，挑戦して下さい。（編集部）

　１から９までの数字をすべて１回ずつ使って，400に等しくなる数式を作って下さい。例えば
４× (２＋８) × (３＋７) × (５＋６－９－１) ＝400
となります。まったく条件をつけなければ，このような式はたくさんできますから，次の条件で考えてみて下さい。
　

問１：古くから「小町算」というものが知られています。これは
□１□２□３□４□５□６□７□８□９□
の□に四則の演算子（＋，－，×，÷）や空白，カッコの記号を入れて100にせよという問題で，例えば
123－ (４＋５＋６＋７) ＋８－９＝100
となります。これを答えが400になるようにして下さい。
　
解答例１：１×２÷３×４×５× (６＋７＋８＋９) ＝400
となります。これに限らず面白い例を見つけて下さい。

小町算とは
　１から９までの数字を１回ずつ順番に使って100になる数式のこと。これの変形版として，９から１に逆に並べたり，四則ではなく足し算と引き算だけに限定したり，100ではなくほかの数にするなどがある。
　田中由真が書いた『雑集求笑算法』（1698年，元禄時代）や中根彦循の『勘者御伽双紙』（1743年，寛保時代）でも紹介されているが，ここでは１から10までの数字を順に使って99にする遊びとなっている。
　なぜ，小町算と呼ぶのかははっきりしないが，平安時代の美女・小野小町のもとに百夜通いをした深草少将が詠んだ歌にちなむとされている。英語ではセンチュリー・パズルと呼ばれている。（編集部）

　今度は，１から９までの数字が現れる順番にはこだわらず，数式の長さ・短さを競って下さい。四則に限らず，三角関数（単位は度でもラジアンでも可），指数関数，対数関数，これらの微分・積分，複素数，ベクトルや行列，数列，順列・組み合わせなど高校程度の数学で使われるものならなんでもよいとします。数字はそれぞれ１回しか使えませんが，定数（π，ｅ，ｉなど）は何度でも使えます。式の長さは演算の個数で数え，カッコや定数，数字は数えません。べき乗演算（２^３など）や行列演算，定積分も１個と数えます。例えば (12＋３!)^４では，長さは３（足し算と階乗，べき乗演算）と数えます。
　

問２：できるだけ短い式にして下さい。短くすることは演算を減らすことですから，123のように２桁以上の数を作って組み合わせると短くなります。
　
解答例２： (４×５)^２×１³⁶⁷⁸⁹＝400
は長さ４（乗算２回とべき乗２回）の解です。より短い解を見つけて下さい。

問３：できるだけ長い数式を作って下さい。ただし，禁止事項があります。π/π (＝１) のように定数同士の演算を使ったり，log e^３＝３やsin (１＋２－３) ＝sin (０) ＝０のように元の値に戻したり，sin (… ( (３! ) ! ) !…!°) ＝０や－log２ ( log２ ( √√･･･√２) ) ＝ ( √の個数 ) を使ったりすると，いくらでも長さが伸ばせてしまいます。そこで，いくらでも式を伸ばせるような仕組みを使うことは禁止とします。
　
解答例３：sin (３!×５°) ×|２＋６×ｉ|^４÷ ( 18－９－７)
は長さが11の解です（ |…| は絶対値）。解答例１は長さ８ですから，３伸びました。どこまで伸ばせるでしょうか。

出題と審査

山崎秀記（やまさき・ひでき）
坂井公（さかい・こう）

２人とも本誌の連載「パズリング・アドベンチャー」の訳者で，専門は計算機科学。
　


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