パズルの国のアリス

サイコロで地雷原を進む(解答)

坂井 公(筑波大学アソシエイト) 題字・イラスト:斉藤重之

 いきなり2マスで考えるより,地雷を置くのが1マスだけだったら,ジョーカーはどうするべきかをまず考えよう。その場合,地雷を踏む確率は,地雷を置くマスが入り口から遠いほうが考えやすい。なぜなら,地雷の位置が入り口から遠くなるに従って“地雷”マスを踏む確率が一定値に収束するからだ。その収束値も簡単な推論でわかる。サイコロを振って進む量は1マスから6マスのどれかである。サイコロに歪みがないとすると,このどれになるかは均等ですべて1/6だと考えられる。ということは,サイコロを1回振って進む量の期待値は(1+2+3+4+5+6)/6=3.5マスである。つまり,何度もサイコロを振っていると,囚人が踏んでいくマスは平均で3.5マスに1つくらいということになる。もちろん,実際にどのマスを踏むかはサイコロ次第だが,サイコロは目を選んで出したりしないから,マスが入り口から遠くなればなるほど,そこを囚人が踏んで進む確率は1/3.5に近づく。というわけで,地雷を置くマスが入り口から十分遠ければ,囚人がそこを踏む確率は,どこもだいたい1/3.5≈0.2857くらいだとわかる。

 すると,入り口のすぐ近くに地雷マスを設定した場合との比較が問題ということになる。入り口から数えてnマス目に地雷を設置した場合にそこを囚人が踏む確率をPnとしよう。n=1のときは,サイコロが1を出せば囚人は地雷を踏むが,2以上を出せば危険地点を通過して安全になる。よってP1=1/6≈0.1667である。

 n=2のときは,サイコロの出目が3以上なら安全になるが,2のときは地雷を踏むし,1のときはn=1の場合と状況が同じになるから,P2=(1+P1)/6≈0.1944である。同様に

 P3=(P2P1+1)/6≈0.2269
 P4=(P3P2P1+1)/6≈0.2647
 P5=(P4P3P2P1+1)/6≈0.3088
 P6=(P5P4P3P2P1+1)/6≈0.3602

となる。n≧7のときは,サイコロの目は1から6までしかないので,どの目が出たかに応じて分類すれば,漸化式

 Pn=(Pn−1Pn−2Pn−3Pn−4Pn−5Pn−6)/6

が成立することがわかる。よって,さらに計算を進めると

 P7≈0.2536, P8≈0.2681, P9≈0.2804,…

となる。以後,Pnは上がり下がりしながらも,もうP6を超えることはなく,先の1/3.5に近づいていく。従って,地雷を置くのが1マスだけの場合は,入り口から6マス目に置くのがよくて,ジョーカーは囚人が地雷を踏む確率を最大のP6≈0.3602にできる。次に地雷を置くとよいのは5マス目で,この場合の確率はP5≈0.3088になる。

 では,地雷マスが2つの場合はどうだろうか。この場合は,先の上位2マスに設置するとよさそうだ。2つの事象は独立でも排反でもないから,どちらかのマスを踏む確率がP6P5P6P5P6P5という式で計算できるわけではない。しかし,その確率としては和P6P5に近い値が期待できそうだ。実際,入り口からnマス目とn+1マス目に連続して地雷が設置してある場合に地雷を踏む確率をQnとすると

 Q1=(1+1+0+0+0+0) /6≈0.3333
 Q2=(Q1+1+1+0+0+0)/6≈0.3889
 Q3=(Q2Q1+1+1+0+0)/6≈0.4537
 Q4=(Q3Q2Q1+1+1+0)/6≈0.5293
 Q5=(Q4Q3Q2Q1+1+1)/6≈0.6175
 Q6=(Q5Q4Q3Q2Q1+1)/6≈0.5538
 Q7=(Q6Q5Q4Q3Q2Q1)/6≈0.4794

となる。5マス目と6マス目に地雷を置くと,最大確率Q5≈0.6175が実現でき,6マス目と7マス目に地雷を置いた場合の確率Q6≈0.5538より高い。実は,確率が2番目に高いのは4マス目と6マス目に地雷を置いた場合である。一般に入り口からmマス目とnマス目(mn)に地雷が設置されている場合にそのどちらかを踏む確率は,Qnを求めたときのような漸化式で順次計算しても求まるが,PmPnPmPn−mで計算できる。だから,これを使って先のQnを計算することもでき,その場合QnPnPn+1PnP1である。PmPn−mが減じてあるが,それは囚人がmマス目の地雷を踏んだ後に(まだ命があったとして)そのn−mマス先のもう1つの地雷を再び踏む(すなわち両方の地雷を踏む)確率である。だから,4マス目と6マス目の場合,どちらかを踏む確率はP4P6P4P2≈0.5734だ。

 最後の問題も十分予測はつくだろう。地雷を設置するのが1マスだけの場合は,入り口のすぐ次のマスに置くことで,踏む確率は最小の1/6となる。そこで,設置場所の1つを囚人が決めるなら,普通は1マス目がよいことになる。それに対してジョーカーは6マス目を選ぶだろうから,その場合に地雷を踏む確率は,(1+P4P3P2P1+1)/6またはP1P6P1P5だ。どちらで計算してもよいが,だいたい0.4754である。もちろん,ジョーカーが選ぶのが6マス目だということが確実なら,囚人側も6マス目を選んで地雷を重ねてしまえば安全性は高まる。だが,ジョーカーが裏をかいて5マス目を選んだりすると悲惨なことになるから,それがよいかどうかは微妙な駆け引きだ。

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