パズルの国のアリス

双子への新しい協力課題(問題)

坂井 公(筑波大学アソシエイト) 題字・イラスト:斉藤重之

 双子のトウィードルダムとトウィードルディーはいつも喧嘩ばかりしているので,金満家の伯父は2人に協力することを学ばせようと,小遣いの与え方の工夫に苦労が絶えない。

 今回の与え方は次のように決めた。小遣いは銀貨を隔週で交互に与える。最初の週はダムに,翌週はディーに,翌々週はダムに,……という具合だ。与える枚数は,最初の週は50枚以下の奇数枚なら好きな枚数をダム自身が選べることにする。翌週はディーの番だが,このときも50枚以下の奇数枚ならディーが選んだ好きな枚数を与える。ただし条件があって,ディーは最初の週にダムが選んだ枚数と同じ枚数を選ぶことはできない。翌々週以降は,次のようにして自動的に定まる枚数の銀貨を与える。ある週に与える枚数は,その前の週に一方に与えた枚数をa,前々週に他方に与えた枚数をbとして,abを割り切る最大の奇数だ。

 例えば,ダムもディーも最初に欲張って許される最大の枚数を選んだとしよう。つまり,ダムは最初の週に49枚,ディーは翌週に47枚を選んだとする。このとき,翌々週にダムがもらえる額は49+47=96を割り切る最大の奇数である3枚だ。すると4週目にディーがもらえる額は47+3=50を割り切る最大奇数の25枚だ。よって,伯父が与える小遣いの額は

49,47,3,25,7,1,1,1,…

と変化していき,最終的には2人の小遣いはともに2週間に銀貨1枚だけになってしまう。

 そこで,ダムとディーが最初にもらう銀貨の枚数をそれぞれどう選ぶのがよいか,読者の知恵を拝借したい。まず,2人が最初にもらう枚数をどう決めようとも,やがては2人とも同額の一定枚数をもらうことになることを証明していただこう。つまり,2人がもらう額は,初めのうちはまちまちであっても,やがて一定値に落ち着くから,この値をなるべく大きくするのが双方にとって得策になる。そして次には,この一定値をなるべく大きくするために,選ぶべきダムの1週目の額とディーの2週目の額についてアドバイスをいただきたい。

解答はこちらです