パズルの国のアリス

続・ハリネズミロボットの操作合戦(問題)

坂井 公(筑波大学) 題字・イラスト:斉藤重之

 春を迎えたトランプ王宮の花園はまさに満開だ。うきうき気分のアリスが様子を見に来ると,お茶会3人組が近くのクローケーグラウンドの一角に陣取り,先日グリフォンと散歩に来たとき(2019年3月号)みたいに,機械仕掛けのハリネズミを使って何やらゲームに興じている。3人組は侃々諤々(かんかんがくがく)の議論に花が咲き,菜の花や撫子を愛でる余裕はなさそうだ。今度は,ヤマネの姪たち7人も一緒にいて,ヤマネに代わって知恵を貸している。

 「ほら,そんなところに移動してもダメだ。もっと北だと言ったろ」と帽子屋が三月ウサギに指示を出す。「うるせいやい。ヤマネのやつがあんなところに動かしやがるから,計画が狂ったんだ。だいたい,おめえのハリネズミがそんなところに居座っているので,ヤマネだって動きにくいんだ」。

 「そうよ」とマンデイがヤマネに代わって口を出す。「帽子屋さんがもう少し東に陣取っていれば簡単なのに……」。

 何が起こっているのかわからずキョトンと見ているアリスにサンデイが気がついて近づいてきた。サンデイによれば,鏡の国の白の騎士が,動きを制限した改良ハリネズミロボットを考案し,新しいゲームを提案したという。「今度は,3人がそれぞれ1台のハリネズミを操作するの。各ハリネズミをあらかじめ指定された場所に移動できればクリアというわけよ」。

 「それなら目標地点までの方向と距離を定め,ボタンを押すだけだから,たいして面白いこともないでしょうに」とアリス。「なんだって帽子屋さんがあんなに威張って指示を出しているのかしら?」

 「実は,白の騎士さんの改良というのがとても奇妙で,いっときに1台のハリネズミだけが動けるんだけど,勝手な方向には動けないんです。互いにぶつかることがないように,他の2台のハリネズミを結んだ直線と平行な方向にだけ動くようになっているんです。つまり,リモコンで指定できるのは平行な方向のどちらの向きに移動するかということと距離だけ。ね,この条件で3台のハリネズミが目標の場所に行くって,結構大変でしょう。だから皆が協力してうまくやろうとしてるんだけど,なかなか意見が合わなくて」

というわけで,読者にも協力をお願いしたい。3台のハリネズミが一直線上に並んでいる場合にどの1台もその直線の外に出ることができないのは明らかだ。では,そうでない場合にどの程度自由に位置を変えることができるだろうか? ヤマネ,帽子屋,三月ウサギが操作するハリネズミが,それぞれ平面上のA,B,Cという位置にいて,同一直線上ではないとする。

 まず,ウォーミングアップとして,ヤマネ,帽子屋,三月ウサギのハリネズミの位置がそれぞれB,C,Aとなるように操作できるかを考えていただきたい。また,ヤマネと帽子屋のハリネズミだけが位置を交換し三月ウサギはそのまま,つまりそれぞれB,A,Cという位置を占めることはできるだろうか? できるならばその手順を,できないならばその理由を考えてほしい。

 次に,通常のxy平面においてヤマネ,帽子屋,三月ウサギのハリネズミの最初の位置の座標をそれぞれ(0,0),(2,0),(0,2)とするとき,それぞれが(0,0),(4,0),(0,1)に移動できるだろうか? また(0,0),(0,3),(3,0)に動くことは可能だろうか?

 余裕のある読者は,3台のハリネズミがある初期位置から別の位置に動ける場合,それらの位置がどういう関係になっていればよいか,その条件を見つけていただきたい。条件を満たす場合にどのように動けば目標が達せられるか,具体的な手順を示してもらえるとなおよい。

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