パズルの国のアリス

トランプ王国の故宮を復元せよ(問題)

坂井 公(筑波大学) 題字・イラスト:斉藤重之

 トランプ王国の考古学部門からイモムシ探偵局に調査依頼が来た。今のトランプ王宮からはずいぶん西に王国発祥の地があり,大きな宮殿が建っていたらしい。可能ならばその宮殿を復元したいというわけだ。内部の様子もよくわからないのだが,とりあえず,その正確な位置を特定したいというのが調査内容だ。

古文書によれば,故宮は完全な正方形をしており,一部の共用スペースを除けば,各辺に沿って,クラブ・ダイヤ・ハート・スペードの王室がそれぞれ自由に様々な施設を作って利用していたらしい。

 グリフォンがアリスを伴って現地の視察に行ってみると,もうそこは文字通り何も残っていないような状態だったが,各王室の玄関跡だと認められる場所が4カ所あったので,その位置を下図のように地図の上に印して,あとは探偵局で検討しようということになった。

 2人の報告を聞いてイモムシが言う。「玄関がそれぞれ宮殿の外壁4辺の上にあったことは間違いないと……なら簡単さ。それぞれの玄関を通り,東西南北に直線を引けばよいのではないか? こんな風に」。

 「話を聞いてたんですか?」とあきれてアリス。「宮殿は正方形の形をしてたんですよ。これのどこが正方形ですか。それに外壁が東西南北の方向に走ってたなんて,誰も言ってないじゃないですか。ピラミッドじゃあるまいし」。

 イモムシは「なんじゃそのピラミッドとは?」と言いかけたが,また叱られそうな気配に,「これを少し斜めに傾ければ……」とだけつぶやいてあとは口をつぐむ。「そう」グリフォンが助け船を出した。「問題は,どうすれば傾き加減がわかるかだが,正方形になるには……」と熟考に沈む。というわけで,読者にも考えていただこう。地図の上に故宮の外壁の跡を作図していただきたい。定規とコンパスだけでできるはずだが,手段は制限しない。次には,もし王室がクラブ,ハート,スペードだけで,宮殿が正三角形の外壁を持っていた場合について,類似の問題を考えていただきたい。その場合,3つの玄関位置だけでは外壁はただ一つには決まらないが,宮殿の敷地面積が最大になるように外壁を定めていただきたい。最後に,面積が出てきたところで,もう1つ作図問題を。下図のように角Aとその内部の点Pが与えられたとする。Pを通る線分を引いて三角形ABCの面積を最小にするには点A,Bをどう決めればよいだろうか?

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