パズルの国のアリス

モグラ国芸能団によるモグラ叩き芸(問題)

坂井 公(筑波大学) 題字・イラスト:斉藤重之

 これまでに何度か無限モグラ国で起きた事件について書いた(2017年2,3月号,2015年2月号など)が,今月号はモグラ国から不思議の国に表敬にやって来た芸能団の話だ。団員のモグラたちは,地面の上に顔を出したり引っ込めたりということが瞬時にできる。それは,まさに神技の域に達していて,サーカスを見ているかのようだったが,最後に次のようなパフォーマンスがあった。

 団員たちは,はじめ四角いマス目に仕切られた広場の一部に,整然と長方形の形に隙間なく並んで顔を出していた。そこへ大きなハンマーを持ってピエロがやって来た。ハンマーには2つ連なったヘッドが備わっている。縦または横に連続する3つのマス目で,真ん中と片端のマス目にはモグラがそれぞれ顔を出していてもう片端が空いているところを見つけ,ピエロは,その2匹のモグラ目がけて思いっきりハンマーを振り下ろす。すると2匹のモグラはパッと地面の下にもぐりこんでその攻撃をかわし,代わりに空いている3つ目のマス目に別のモグラが顔をのぞかせる。ピエロとモグラたちはこれを驚くほどの速さで繰り返した。ハンマーを振り下ろすたびに,2匹のモグラが地面の下に隠れ,新たに1匹が現れる。こうして顔を出しているモグラは1匹ずつ減っていき,最後の1匹だけになった。

 この最後に残ったモグラが実は団長で,芸能団の代表として不思議の国の観客に挨拶を述べたあと,全団員が再び地面から顔を出し一斉に深々と礼をした。

 これを見ていたアリスだが,ふと疑問に思い,隣にいたスペード兵士たちに問いかけた。「どうしてあんなにうまく最後に団長さんだけを残せるのかしら? あのハンマーのヘッドでは,連なっている2つのマスしか叩けないでしょ。だから最後に残る2匹が隣り合ったマス目にいないと,同時に2匹を叩くことができないわ」。

 すると,スペードのエースも同じ疑問を抱いていたようで,「うん,実際,3匹以上が隙間なく1列に並んでいるだけの場合だと,最初に叩くのは端の2匹しかないので,そこが2マス空いて,その先の空マスに新たな1匹が現れるよね。残りをどう叩いても,その1匹は孤立したままだから,1列ではうまくいかない場合が確かにある。でも2列以上ある長方形ならいつでも1匹だけを残すことができるのかな?」

 この辺で読者にも参加して考えていただこう。最初にm×nm≧2,n≧2)の長方形の形にモグラたちが隙間なく並んでいたとする。ハンマーで叩く順をうまく工夫すれば,このピエロを加えたパフォーマンスは,つねに団長1匹を残す形で終わることができるのだろうか? いつでも可能ならそれを証明していただきたい。不可能な場合があるなら,どういうmnの組み合わせに対してうまくいかなくなるかを教えてほしい。

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