パズルの国のアリス

ハート王室の金庫を開錠せよ(解答)

 まず,答えだけを述べよう。最初の問題の答えは3193359375である。また第2の問題の答えは3957519531だ。

最初の問題を素朴に解くなら,何も考えずにただ510の倍数を次々に生成して,10桁全部が奇数になるかどうかを見ていけばよい。コンピューターの利用が普及した現代の感覚では,1000個程度の整数を調べることなど朝飯前かもしれない。510を327倍したところで上の解が見つかる。

 しかし,それではあんまりなので,もう少し数学的に考えてみよう。ここで気が付くべきことは10kを5kで割ると,割り切れて2kになり,2kは5で割り切れないという事実だ。このことをうまく利用すると,下の桁から順に数字を決定していくことが可能になる。

 まずグリフォンの条件から一番下の桁は5である。また,52の倍数の下2桁は00,25,50,75であることがちょっと調べてみるとすぐわかる。このうち奇数の数字だけでできているのは75だから,問題の数値の下2桁は75だとわかる。以下,同様に進めていくと,数値は下の桁から次第に明らかになる。先の事実を使って,一般的にこのプロセスを述べると次のようになる。

 いま,下k桁の数値が決定済みとして,それをMとしよう。それは5kで割り切れるはずだからMm×5kと書ける。その上の桁の数字をxとすると,このk+1桁の数値は

10kxM=(2kxm)×5k

と書ける。これが5k+1で割り切れるためには,2kxmが5で割り切れなければならない。2kが5で割り切れないということから,このような数字xは2つあり,互いに5違う。よって,一方は偶数で他方は奇数である。グリフォンの条件により,xは奇数だから,このようなxはただ1つに定まる。

 例えば,下から3桁目を決めるには,k=2の場合を考えればよい。3桁の数値は

100x+75=(4x+3)×25

となる。x=3,8のとき,4x+3は5で割り切れるが,奇数は3のほうだから下3桁は375と決定する。4桁目は

1000x+375=(8x+3)×125

より,x=9だとわかる。以下,ほとんど試行錯誤なしに,下の桁から順に数字が決定していく。

 次の問題,すなわち「1引いて5で割ると割り切れる」の場合もほぼ同様に計算だけで決着させられる。まず一番下の桁は1だ。次の桁をxとすると,2桁の数値は

10x+1=2x×5+1

だが,条件より2xは5で割ると1余る数である。従ってxは3か8だが,奇数の3がxと確定する。これを伸ばした3桁の数値は,

100x+31=((4x+1)×5+1)×5+1

である。4x+1が5で割ると1余る数であるためには,奇数xは5でなければならない。4桁目は,

1000x+531=(((8x+4)×5+1)×5+1)×5+1

より,8x+4が5で割ると1余る数になるように,奇数xを定めるとx=9となる。以下,順次,桁数を伸ばしていくことで冒頭で述べた解が得られる。

 また,以上のプロセスから,考えうる暗証番号は他にはないこともわかる。

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