パズルの国のアリス

ヤマネの姪たちの習い事(問題)

坂井 公(筑波大学) 題字・イラスト:斉藤重之

 三月ウサギの家の前では,相変わらずテーブルが据えられ,いつ果てるとも知れぬお茶の会が続いていたが,今日は3人組以外に,アリスや(誕生日にちなんだ曜日の名前を持つ)ヤマネの7匹の姪も加わり雑談に花が咲いている。ヤマネは,自分の悪口を言われているとも知らず,ポットの中で気持ちよさそうに熟睡中である。

 「ほんと,このおじちゃんの記憶力の無さときたら,別格よね」とサンデイ。「どこかに記憶力増強訓練をしてくれる塾とか無いのかしら」。

 「そうよね」とマンデイ。「そのくせ,あたしたちの習い事にはうるさいんだから。自分でもやればいいのよ。記憶力が身につくような習い事もあるかもしれないし」。

 「でも,おじちゃんもそれなりに大変なのよ」とチューズデイが弁護する。「きっと,あたしたちを預けるにあたって,ママにきつく言われてるんじゃない。ママったら,外国に行っちゃってほったらかしのわりには,教育,教育ってうるさいんだから」。

 「へえ,私もずいぶんやらされているけど,どこも同じなのね」とアリスが割り込む。

 「そうよ」とウェンズデイ。「ピアノにバイオリンでしょ。それから水泳教室に絵画教室。おまけに珠算塾に書道塾。あら,6つもよ」。

 「え,みんな6つもの習い事をしているの?」とアリス。

 「いや,さすがにそんなことはないけど」とサーズデイ。「全員合わせて6種よ。全部をやっている子はいない。それに全員がやっている習い事もないよね」。

 「そういえば面白いことに気づいたわ」とフライデイ。「あたし,サンデイとは水泳教室でいっしょだし,マンデイとはピアノでいっしょ。ほかのどの子ともちょうど1種類の習い事だけでいっしょだわ」。

 「えー,不思議ね。あたしもそうよ」とサタデイ。

 それを聞いて,みな自分と他の姉妹それぞれが共通の習い事をいくつ持つかを考え始めた。

 さて,読者への問題は,これまで述べてきた条件下で,どの2匹をとっても共通な習い事がただ1つという状況がありうるかどうかを考えていただくことだ。

 実は,そのような状況がありうるとしたら,習い事の種類も姉妹の数と同じかそれ以上,すなわち7種類以上なければならないので,それを証明していただきたい。また,もう1つ別の習い事(たとえばダンス教室)があるとき,どの2匹の姉妹をとっても共通の習い事がただ1つという状況を具体的に作り出してほしい。こちらの問題はそれほど難しくないと思うので,余裕のある人は,さらに加えて「どの習い事をとっても,姉妹7匹のうちにそれをやっているのが3匹以上いる」という状況を作り出せるだろうか。

解答はこちらです