パズルの国のアリス

距離100メートル隔たった兵士たち(問題)

坂井 公(筑波大学) 題字・イラスト:斉藤重之

 スペードの兵士たちは,今日もジャックの指揮の下,クローケーグラウンドでの軍事演習だ。ところが,厄介なことに,ハートの女王がそこをたまたま通りかかった。2013年6月号のときもそうだが,この女王の気まぐれにはきりがない。今度もジャックを呼びつけて聞く。

 「この兵士たちが狙いを外さずに確実に的に当てられる距離はどのくらいかの?」

 「は,女王陛下,確実ということになると100mが限界かと存じます」

 「それでは,兵士同士が互いに守りあえるように,互いに100mを超えて離れないように演習をしてみよ」

 すぐに伝令が飛ぶと,エースと2と3のそれぞれが一辺100mの正三角形の頂点を占めるように位置を変えた。さらに,4が2と3とで別の正三角形を作るような位置につく。それを見ていた女王,「なるほどのう」といったんうなずいたが,「……いや,いや,いかん。あれでは,エースと4の距離が100mを超えてしまうではないか。どの2人も100m以内の距離になるようにせよ。そうじゃな,この際だから,その条件を守った上で距離がちょうど100mのペアがなるべくたくさんできるような配置を考えてみよ」。

 この注文に,ジャックが頭をひねっていると,比較的近くで様子をうかがっていたエースが寄ってきて知恵をつける。「どうでしょう。やぐらを組むか地面を掘るかして,4人目を正四面体の頂点の位置におけば,4人で距離100mのペアが6組できますが……」。

 それを聞いていた女王,「そちは,よくもまあそんな奇想天外なアイデアを思いつくものよ。じゃが,このグラウンドでそんなことをされてはかなわん。よいか。平面上の配置で考えよ。 ユークリッド平面じゃぞ。それに2人以上が同じ位置につくというのももちろん駄目じゃ」。

 こう釘を刺されてしまったスペードの兵士たち。さて,全員の10人では,女王の出した条件を守った上で距離100mのペアを最大で何組作れるだろうか?

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