パズルの国のアリス

ハートの女王とマハラジャの勝負(問題)

坂井 公(筑波大学) 題字・イラスト:斉藤重之

 アリスは,久しぶりに不思議の国のトランプ王宮をたずねてみた。執事役の白ウサギに聞くと,例のマハラジャ出身と噂されるお大尽が来ていて,ハートの女王と何やら別室にこもってお取り込み中だという。へたに女王の邪魔をすると「首をはねよ」とやられるのがオチなので,こっそり様子を見に行ってもらうと,銀貨を投げてはそれをやり取りするという賭けをやっているだけらしい。アリスはちょっと安心して,白ウサギに案内してもらって挨拶に行ったが,女王は,難しい顔を崩さない。どうやら賭けの結果がおもわしくないらしい。

 聞くところによれば,以前にマハラジャは自分が不利になる賭けを提案したのだが(2013年5月号参照),それがしゃくにさわった女王は,そんなことをしなくとも自分が勝つに決まっていると言って,対等な賭けに固執した。やり方は女王がポケットから銀貨を取り出して投げる。裏が出ると投げた銀貨はマハラジャに没収されるが,表が出ると2枚の銀貨と交換してもらえるというものだ。ところが,始めてみると最初に裏が出てしまい,女王は,自分が勝つと言った手前,なんとかその赤字を回復しようと躍起になっているところだった。

 マハラジャにとっても,自分が黒字で終わるなどということはまったくありがたくないことなので,アリスの挨拶を受けた後も何度も銀貨を投げ,ようやく2人の収支がトントンになったのは,初めからの通算で結局20回もコイン投げをしたあとだった。

 さて,読者への問題だが,まずウォーミングアップとして,20回目に収支が0になる確率を求めていただきたい。もちろん銀貨には歪みはなく表裏が出る確率はどちらも1/2とする。次には,その中で上に述べたようなことが起こる,つまり途中では常にハートの女王が赤字になっている(条件付き)確率を求めてほしい。

 その後,小休止を挟んで,女王とマハラジャは勝負を再開したが,今度はたてつづけに3回裏が出てしまい,その後さらに17回コイン投げをしたが,女王は途中累計で一度も赤字が消えることなく最終的には銀貨4枚の赤字の状態で不本意ながら賭けを終了した。この場合,最後の17回のコイン投げの結果は明らかに,裏が9回,表が8回であるが,実際の表裏の出方には何通りの可能性があるだろうか?

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