パズルの国のアリス

マハラジャの新しい賭け遊び(問題)

坂井 公(筑波大学) 題字・イラスト:斉藤重之

 例のマハラジャ出身でないかと噂されるお大尽がハンプティ・ダンプティのところに相談に来ていた。何かと金品をばらまくのが大好きなお大尽ではあるが,ただお金を配るよりも,面白くて頭を使う遊びはないかというわけだ。相談を受けたハンプティ・ダンプティもゲームや勝負事が大好きであり,何か楽しい企画はないかと思っていたところだったので,次のような賭けを案出した。

 やり方は簡単だ。たとえば,アリスを相手にするとしよう。お大尽は,アリスに見えないように,2枚の紙片それぞれに異なる数値を書く。アリスは,どちらか好きな方の数値を見せてもらい,それがもう一方より大きいかどうかに賭ける。当たれば,お大尽は銀貨1枚をくれるし,外れればアリスが銀貨を1枚支払わねばならない。

 どちらが大きいかは五分五分と思えば,一見,この賭けは平等に見えるが,実はそんなことはない。ポイントは,アリスが一方の数値を見た後で賭けるところにある。うまく戦略をたてれば,アリスは勝率を1/2よりも大きくすることができるのだ。

 読者には,まずウォーミングアップ問題として,お大尽が(通常の立方体の)サイコロを2つ振って2枚の紙片にその目の数を書き込んでいる場合を考えていただこう。その場合のアリスの戦略はどういうもので,その戦略によるアリスの勝率はどうなるだろうか? 2つのサイコロの目が同じだったならば,振り直すことにする。

 次に,0以上1以下の実数から数値を2つ選び,どの値が書き込まれる可能性も平等の場合を考えていただこう。数学の言葉で表現すると,[0,1]閉区間に値をとる独立な一様乱数2つを用いる場合である。

 上の2つの問題を考えれば,この賭けがアリスにとって有利なことが多いということは納得してもらえるだろう。では,もしお大尽が2つの数値をどのようにして決めているかについてまったく情報がない場合はどうだろうか?その場合でもアリスには勝率を1/2よりも大きくできるような戦略があるだろうか? これが第3問だ。

 これまでの問題では,比較する2つの数値のうち,どちらを見るかをアリスが決めることができた。最後の問題としては,これを決めるのがハンプティだったとしたらどうなるかを考えていただこう。ハンプティは,お大尽と違って意地悪が大好きだ。もちろん,この場合には,2つの数値を見比べた上で,アリスの勝率が下がるように見せる数値を決めてくるに違いない。簡単のため,お大尽は,紙片に記入する2つの数を決めるのに[0,1]閉区間の独立な一様乱数を使っているものとしよう。

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