パズルの国のアリス

缶もキャンディも 平等に!(問題)

坂井 公(筑波大学) 題字・イラスト:斉藤重之

 ヤマネが7匹の姪たちに囲まれて往生していた。

 「ひどいじゃない。おじちゃん,そんなにためちゃって」とサンデイ。「あたしたちにくれないで,こっそりネコババしようとしてたんでしょ」とマンデイも詰め寄る。「よく見ると缶もとっても綺麗で素敵じゃない。こんなのあたしたちに隠してたなんて許せないわ」。

 ヤマネは日ごろ可愛がっている姪たちの一斉糾弾の的になって,ろくに返答もできずタジタジだ。そこに幸いアリスとグリフォンが通りかかった。事情を聞いてみると,こういうことらしい。

 例の外国出張が長くなっているヤマネの兄夫婦(姪たちの両親)から,娘たちへのみやげ物としてときおり缶入りキャンディが届く。ところがキャンディは姪たちの大好物なので,うっかり缶を開けようものなら,前にもあったように(2012年9月号)取り合いが始まって収拾がつかなくなりかねない。それにこんどは缶も綺麗なので缶自体も取り合いの対象になりそうだ。

 中のキャンディの個数は,缶ごとにまちまちだが,幸い缶に書いてある。そこで,缶が7つ以上集まったら,キャンディの合計数が7で割り切れるように缶を7つ選び,缶を開けて中身は7等分して,姪たちに渡そうというのがヤマネの計画だった。

 ところが,これまでに到着した缶を見てみると,どの7つを選んでも中のキャンディの合計数が7の倍数にならない。それで計画の実行を先延ばししていたら,目ざとい姪たちにみやげ物を発見されてしまったというわけだ。

 「ふーむ」とグリフォン。「ずいぶんたまっているね。全部で……えーと,12缶もあるのか」としばらく考えていたが,やがて「大丈夫だよ。そのうちにおそらくもう1缶届くんだろう。そしたら,それを合わせれば,今度こそ7缶で中身の合計数が7の倍数になるものが必ず見つかるさ」。

 姪たちは,グリフォンの言葉なので,それを信じて次のみやげが届くのを待つことにしたが,さて,読者の皆さんにはこの根拠を考えていただきたい。また,ヤマネの姪は7匹だが,一般にn匹で分け合う場合に,キャンディの合計がnの倍数になるようなn缶が必ず見つかることを保証するためには缶は最低いくつあればよいだろうか。

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