パズルの国のアリス

近所づきあいは御免だ(問題)

坂井 公(筑波大学) 題字・イラスト:斉藤重之

 アリスがイモムシ探偵局で雑談に花を咲かせていると珍客の訪問があった。トランプ城の雑用係兼まじない師のジョーカーだ。ボーナス支給事件(2010年6月号)でのズルを暴かれてからは,イモムシ探偵局やアリスに良い印象を持っていないはずのジョーカーだが,サバサバとしていてそんなことを根に持っている様子はない。

 「これは,これは,ジョーカー殿。お珍しいことで」とイモムシがお愛想を言うと,ジョーカーはそちらにはちょっと目で挨拶しただけで,探偵助手のグリフォンにもっぱら話しかける。「例のボーナス事件では,だいぶ儲けさせてもらった。あんたたちのおかげでそう長続きはしなかったがね。それで貯めた小金があるので,別荘地を買おうと思うのだが,そのことで相談にのってほしいんだ」。

 アリスとグリフォンは,また悪巧みかと警戒したが,そういうことではないらしい。ジョーカーが不動産屋に打診したところ,お気に入りの別荘村に出物があった。村全体を周遊する全長20kmの道路があり,その周遊路に面した好きな土地が手に入るという。

 ただ問題が1つある。周遊路に面して,クラブ,ダイヤ,ハート,スペードの各王室が1つずつすでに別荘を保有していることだ。ただですら職場でうっとうしいと思っている連中と休暇中に顔を合わせるのはなるべく避けたい。周遊路は全長20kmなのだから,どの地点であろうとそこから道路に沿って10km以上離れた土地を選ぶことは不可能だが,せめて半分の5kmは離れた場所にしたい。そこで,4つの王室の別荘のどこからも5km以上離れた場所があるかどうかを確認してから決めたいと思い,不動産屋に「地図を見せろ」と言ったところ,「それは個人情報だからできない」と言う。もちろん購入すると決めれば,土地を選ぶのに必要だから見せてもらえるのだが……。

 それで,ジョーカーが相談に来たのは,4つの王室の別荘が周遊路上にランダムに配置されていたとして,自分が望むような地点,つまりどの別荘からも道路沿いに5km以上離れている場所があるかどうかである。4つの別荘がかたまって建っていればそんな場所は簡単に見つかるであろうが,別荘の位置がランダムな場合に見つかる確率はどのくらいであろうか?

 また,もしジョーカーの要求がもっと過大でどの別荘とも6km離れた場所がほしいというのであれば,その要求が満たされる可能性はどのくらいだろうか?

 さらに,周長が20kmの球形の衛星全体が別荘村であった場合はどうだろうか? つまりその衛星の4カ所に別荘がランダムに建っているとき,そのどこからも(大円に沿って測った)距離で5km以上離れた地点が存在する確率はどのくらいだろうか?

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