パズルの国のアリス

平均化フラスコ(問題)

坂井 公(筑波大学) 題字・イラスト:斉藤重之

 白の騎士が実験室にこもって何やら工作に余念がない。
 様子を見に白の王様がやって来た。
 「陣中見舞いじゃ。どんな具合かのお?」
 「あ,陛下,今,試作品が完成したところです。御覧になりますか」と,白の騎士は2つのフラスコを1本の細い管でつないで天秤に載せたような装置のところに王を案内する。

 「この左右のフラスコに水を入れて,この管の途中にあるスイッチを押しますと……」と,騎士がその通り操作すると,かすかな音とともに管を通ってフラスコの水が左から右へと移動し始めた。
 「この通り,水は多いほうから少ないほうへと流れます。少ないほうの水の量が元の2倍になりますと,これこの通り,ピタリと流れは停止します」
 「ほう,さすがにそちの作るものはいつも秀抜であるな」と王は感心していたが,
 「少ないほうが,いつも2倍になるのだな。で,これでどうやれば,両方のフラスコの水の量が同じになるのじゃ?」
 「へ?」
 「余は,2つの容器に入った液体の量を均等化するような装置がほしいとそちに申し付けたはずじゃが。ウム,同じ形の2つのフラスコを管でつなぐのは,なかなか面白いアイディアじゃ。ただ,余の考えでは,あとは何もせずとも,水圧で量は均等になるような気がするが……」

 白の騎士は,自分の発明に付けた機能がまったく余計なことに気がついたが,それでも,シドロモドロで
 「はあ,たとえば,左に5リットル,右に3リットルの水を入れた場合,最初にスイッチを入れますと左が2リットル,右に6リットルに変わります。そこで再びスイッチを入れますと,今度は右から左に水が流れ,両方とも4リットルで等量になります」
 「その場合はそうだが,たとえば1リットルと2リットルの水では?」
 その場合を想像して,2人は頭を抱えてしまったが,さて,読者の皆さんには,次の問題を考えていただきたい。

 まず,ウォーミングアップとして,
(5リットルと3リットルの場合のように)白の騎士の作った装置で2つの容器に入った水が均等に分けられるためには,水の量がどのようになっていればよいか,その条件を求めてほしい。

 また,どれも整数リットルの水が入った容器が3つ与えられたとき,白の騎士の装置では,3つの容器の量をすべて均等化することができない場合があることは明らかだが,装置をうまく使えば,少なくとも2つの容器の水の量は必ず同じにできることを証明してほしい。

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