パズルの国のアリス

スペードのエースの忘れ物(問題)

坂井 公(筑波大学)題字・イラスト:斉藤重之

トランプ城の大手門前で毎日行われる兵士たちのパレードは,いつもはハートの兵士たちの役割である。ところが,ハートの7が病気になり,スペードの兵士たちが急に代役を務めることになった。かなり大勢の見物人があるので,慣れないスペードたちは緊張しているようだ。東西の守衛所から5人ずつが現れ初期位置についたのはよいが,なんとなくそわそわしている。

パレードの進め方は『トランプたちの行進』(2010年3月号)で説明したのと同じである。各兵士は,200メートル離れた東西の守衛所の間に最初適当な間隔で並び,正午になると一斉に東西どちらかに歩き出すのだ。兵士たちは全員同じ速度で歩き,2人の兵士が鉢合わせすると,2人ともそこでくるりと向きを変え,逆方向に同じ速度で進む。そして,どちらかの守衛所に着いたら,その兵士の行進はそれで終わりである。

さて,定刻の正午になって,パレードが始まると,さすがに行進慣れしているのか,兵士たちは落ち着きを取り戻し,パレードの進行はスムーズだった。

ところが,アリスには,西から5人目の位置にいたスペードのエースの動きがやや不自然に見えた。正午になった瞬間には,まだどちらへ歩こうか迷っている風だった。ほんの一瞬遅れて西のほうへ動き出し,その後は,決められた通りの動きをしていたが,なにか気がかりなことがあるらしく,途中で東を向くたびに,西の守衛所のほうをちらちらと見やっていた。やがて最後の1人となって西の守衛所に入っていった。

あとでエースに会ったとき,アリスがどうしたわけか聞くと,エースいわく,

「あれ,気づかれちゃったか。いや,俺としたことが……ちょっと恥ずかしいんだけど……西の守衛所で待機していたとき,2や3たちとちょっと賭けをやってたんだ。それはいいんだけど,守衛所を出てから財布を置き忘れたことに気がついた。いつもみんなをカモにしてるから,東の守衛所に入っちゃうとあとで取り返すのは難しいと思ってね」

「あ,それで,最初,西の守衛所に向かって歩き出したんですね」

「うん,何とか西の守衛所に入れたので,誰かに盗られる前に財布は回収できたけど,入ったのは最後だったから結構危なかったかもしれない」

「でも,変ですね。最初に西に向かったからといって,西の守衛所に入れるとは限らないでしょうに。案外,東に向かったほうが,よかったんではないですか?」

さて,今月の問題は,このアリスの言葉が正しいかどうかを考えていただくことだ。他の兵士の初期位置も最初に歩き出す向きもランダムだとすると,西から 5人目の位置にいたエースが西の守衛所に入るためには,最初に西へ向かうのと,東へ向かうのと,どちらがよいのだろうか。その場合に,エースが西の守衛所に入る確率はどうなるだろうか。また,西へ歩き出したエースが(東西どちらに入るかに無関係に)守衛所に入る最後の兵士になる確率はいくつだろうか?

 

 

 

今月の問題:スペードのエースの忘れ物

 

問題

問題:パレードでハートの兵士の代役を務めることになった10人のスペードの兵士たち。200 メートル離れた東西の守衛所の間に適当な間隔で並び,正午になると一斉に東西どちらかに同じ速度で歩き出す。兵士同士が鉢合わせすると,2人ともくるりと向きを変え,逆方向に同じ速度で進む。どちらかの守衛所に着いたら,その兵士の行進はそれで終わりだ。

パレードを見物していたアリスは,西から5人目の位置にいたスペードのエースの動きが不自然なことに気づいた。他の兵士から一瞬遅れて西へ動き出したが,決められた通りの動きをしているものの,西の守衛所ばかり気にしている。エースは西の守衛所に財布を忘れてきたため,なんとしてでも西に向かおうと考えていたのだ。

「でも,変ですね。最初に西に向かったからといって,西の守衛所に入れるとは限らないでしょうに。案外,東に向かったほうが,よかったのでは?」

他の兵士の初期位置も最初に歩き出す向きもランダムだとすると,西から5人目の位置にいたエースが西の守衛所に入るためには,最初に西へ向かうのと,東へ向かうのと,どちらがよいのだろうか。その場合に,エースが西の守衛所に入る確率は? また,西へ歩き出したエースが(東西どちらに入るかに無関係に)守衛所に入る最後の兵士になる確率はいくつだろうか?

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