パズルの国のアリス

双子と壺と銀貨(問題)

坂井 公(筑波大学)題字・イラスト:斉藤重之

双子と壺と銀貨

トウィードルダムとトウィードルディーの兄弟が,壺を前にして,にらみ合っていた。周りを見ると,鍋や釜や傘の柄などが散らばっており,2人の手元には貯金箱とそこから取り出した銀貨が何枚かおいてある。

「何,してるんですか」とアリス。

「やあ,キミか。ちょうどいい」とダム。「実は,おじさんにまた新しいガラガラを買ってもらうことになったんだけど,店に行ったら,もう在庫が1つしかないって言うんだ。だったら兄貴の俺が買ってもらって当然なのに,こいつがウンと言わない」。

「それでまた,その鍋や釜を身に着けて決闘ですか?」とたずねながら,「また,着付けを手伝えって言うんだわ,この人たち」と内心ため息をつく。

ところが「そうするつもりだったんだけど」とディー。「おじさんが,もうそういう子供っぽいことはやめて,別の方法で片をつけろって言うのさ。で,提案されたのが,こういう方法さ」。

「それぞれが銀貨何枚かに自分の印を付けてこの壺の中に入れる。そしてキミのような第三者に,目をつむって中から1枚取り出してもらう。次にもう1枚取り出し,それが最初のと同じ印ならば,さらにもう1枚取り出してもらう。こうして違う印の銀貨が出てくるまで続けるんだ。違う印の銀貨が出てきたら,1ラウンド終了で,最後に出てきた違う印の銀貨は壺に戻して,よく壺を振る。このラウンドを何度も繰り返し,壺から最後の銀貨が出てきたとき,それが自分の印だったら勝ちで,ガラガラを買ってもらえるってわけさ」

「でも,その代わり」とダムが説明を引き継ぐ。「壺の中にあった銀貨は,負けたほうが全部もらうというルールだ。というわけで,壺から銀貨を取り出すのをキミにお願いしたいんだけど,ちょっと考えさせてね。……うーむ,勝つには銀貨を多めに入れたほうがいいような気がするんだけど,そうすると勝ったとき相手に取られる銀貨も多くなっちゃうし……いったい何枚入れたらいいものか?」

さて,読者には,双子が最善の戦略を得る助けになるよう,壺にダムとディーがそれぞれm枚とn枚の銀貨を最初に入れたとき,それぞれが勝つ確率を求めて頂きたい。

 

  

今月の問題:双子と壺と銀貨

 問題

問題:店に1つしか残っていないガラガラをめぐって,お互いに譲ろうとしないトウィードルダムとトウィードルディーの兄弟。ダムとディーのおじさんは,ケンカをせずに決着をつける方法を提案した。

まず,それぞれの手元にある銀貨の何枚かに自分の印を付けて壺の中に入れる。第三者に,目をつむって中から1枚取り出してもらう。次にもう1枚取り出し,それが最初のと同じ印ならば,さらにもう1枚取り出す。こうして違う印の銀貨が出てくるまで続ける。違う印の銀貨が出てきたら,1ラウンド終了で,最後に出てきた違う印の銀貨は壺に戻して,よく壺を振る。このラウンドを何度も繰り返し,壺から最後の銀貨が出てきたとき,それが自分の印だったら勝ちだ。

ただし,壺の中にあった銀貨は,負けたほうが全部もらうというルールなので,勝つために銀貨を多めに入れると,勝ったときに相手に取られる銀貨も多くなる。

ダムとディーがそれぞれm枚とn枚の銀貨を最初に入れたとき,それぞれが勝つ確率を求めてほしい。

 

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