空間における反転法を使う。２つの球O₁とO₂の接点を中心 とし，平行平面に反転する。このとき，S₁（i=1，2，....，n）は大きな球の反転である球を取り巻き２つの平行平面に接する球の鎖となる。この平行２平面の中間にさらに平行平面を考え，これとこれらの球の切り口を考えると１つの円を囲んで同じ半径の 円が取り巻いていることになる。これらは６個に限ることは明らかである。すなわち答えは６個である。

　さらに反転の性質より，反転された図形で４個の円の中心O_n(t_n)(n=1，2，3，4) が長方形を作るときは元の円の半径について逆数の和が等しい。したがって，次の関係式が成り立つ。

　この問題はソディーの「六球連鎖」の定理として有名である。Frederic Soddy（1877-1956）が1936年に発表した定理だが，和算家はそれより約100年前の1822年にすでに神奈川県の算額に発表していた。
　和算家の解法では，空間におけるデカルトの定理を利用しているが，これ自体が複雑かつ難解なのでここでは反転法を用いた。この空間におけるデカルトの定理は現代でも非常に難しく，これを和算家が得ていたことは非常な驚きである。しかもその証明に約10 頁を費やして木版出版しているのである。

　反転法や和算家が使った空間におけるデカルトの定理については，『日本の幾何学』（深川秀俊・Dan Pedoe著，森北出版）を参照のこと。

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