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　ついに証明された？　ポアンカレ予想

イメージG. P. コリンズ（SCIENTIFIC AMERICAN 編集部）
　
　今から100年前、偉大な数学者ポアンカレが提唱した数学の難問が、ついに証明されたようだ。「私たちが住んでいる３次元空間を構成する様々な３次元多様体の中で、最も単純で簡単なのは『３球面』と呼ばれる形。これと同じくらい簡単な形はほかにない」という予想だ。2002年ロシアの数学者ペレルマンが、ついにポアンカレ予想の証明に成功したと見られ、注目を集めている。
　ポアンカレ予想は、米クレイ研究所が100万ドルの懸賞金をかけた７つの難問「ミレニアム問題」のうちの１つ。ペレルマンはこれまで解析に知られていた多様体の分類手法を、あらゆる３次元多様体に応用するための新たな手法を見出し、証明に成功した。またポアンカレ予想が証明されたことで、私たちの宇宙が取り得る３次元の形がすべて明らかになり、分類できるようになった。
　ペレルマンの証明は「形」の本質を問題にするトポロジーの研究を大きく進展させるだけでなく、素粒子物理学や量子重力論の発展にも貢献しそうだ。
　
キーワード：ポアンカレ予想／トポロジー／位相幾何学／リッチフロー／ホモトピー／３球面／多様体／シガー特異点

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