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SCIENTIFIC AMERICAN September 2019

Numbers Game

数学は発明か発見か

By Kelsey Houston-Edwards K. ヒューストン=エドワーズ
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When I tell someone I am a mathematician, one of the most curious common reactions is: “I really liked math class because everything was either right or wrong. There is no ambiguity or doubt.” I always stutter in response. Math does not have a reputation for being everyone’s favorite subject, and I hesitate to temper anyone’s enthusiasm. But math is full of uncertainties—it just hides them well.  私が自分の専門は数学ですと自己紹介した際に多くの人が示す奇妙な反応のひとつは,「私も数学の授業が大好きでしたよ。どんなことも正しいか間違いであるかのどちらかで,曖昧さやがないのだから」というものだ。どう応じるべきか,私はいつも言葉に詰まる。数学は誰もが好む科目だとは思われていないし,数学好きに水を差すのもためらわれるが,実は数学は不確実性に満ちている。それをうまく隠しているだけだ。
Of course, I understand the point. If your teacher asks whether 7 is a prime number, the answer is definitively “yes.” By definition, a prime number is a whole number greater than 1 that is only divisible by itself and 1, such as 2, 3, 5, 7, 11, 13, and so on. Any math teacher, anywhere in the world, anytime in the past several thousand years, will mark you correct for stating that 7 is prime and incorrect for stating that 7 is not prime. Few other disciplines can achieve such incredible consensus. But if you ask 100 mathematicians what explains the truth of a mathematical statement, you will get 100 different answers. The number 7 might really exist as an abstract object, with primality being a feature of that object. Or it could be part of an elaborate game that mathematicians devised. In other words, mathematicians agree to a remarkable degree on whether a statement is true or false, but they cannot agree on what exactly the statement is about.  もちろん,不確かさがないとの見方はわかる。7は素数かどうかと聞かれたら,答えは絶対に「イエス」だ。素数とは定義により「自分自身と1のみによって割り切れる1よりも大きな整数」であり,2,3,5,7,11,13などの数なのだから。数学の先生なら,世界のどの国でも,過去数千年のどの時期にいた先生でも,「7は素数」という答えにマルをつけ「7は素数でない」という答えにはバツをつけるだろう。こんな途方もない一致が見られる学問分野は他にあまり例がない。
 だが,数学的陳述の真実性とは何かを100人の数学者に尋ねたら,100通りの違う答えが返ってくるだろう。7という数は,素数性を特徴のひとつとして備えた抽象的な対象として実在しているのかもしれない。あるいは,それは数学者が考案した手の込んだゲームの一部である可能性もあるだろう。言い換えると,数学者はある陳述が真であるか偽であるかについて驚くべきレベルで一致している一方で,その陳述が厳密に何についての陳述であるかに関しては一致できないでいる。
One aspect of the controversy is the simple philosophical question: Was mathematics discovered by humans, or did we invent it? Perhaps 7 is an actual object, existing independently of us, and mathematicians are discovering facts about it. Or it might be a figment of our imaginations whose definition and properties are flexible. The act of doing mathematics actually encourages a kind of dual philosophical perspective, where math is treated as both invented and discovered.  この議論は単純な哲学的疑問を含んでいる。数学は人間によって発見されたのか,それとも人間が発明・創作したものなのか,という疑問だ。7という数は人間とは独立に存在する対象で,数学者はそれに関する事実を発見しているのだと考えられる。あるいはそうではなく,7は想像の産物であり,その定義と特徴は変更が利くのかもしれない。数学という営みを実行すると,数学を発明でもあり発見でもあるとみる一種の二元的な哲学的視点が正解だと思えてくる。
This all seems to me a bit like improv theater. Mathematicians invent a setting with a handful of characters, or objects, as well as a few rules of interaction, and watch how the plot unfolds. The actors rapidly develop surprising personalities and relationships, entirely independent of the ones mathematicians intended. Regardless of who directs the play, however, the denouement is always the same. Even in a chaotic system, where the endings can vary wildly, the same initial conditions will always lead to the same end point. It is this inevitability that gives the discipline of math such notable cohesion. Hidden in the wings are difficult questions about the fundamental nature of mathematical objects and the acquisition of mathematical knowledge.  私にはこれが即興劇に少し似ているように思える。数学者は幾人かの登場人物(数学が扱う対象)と相互作用を定める少数の規則を用いて舞台を設定し,あとは劇がどう展開するかを見守る。役者たちは,数学者の当初の意図とはまったく無関係に,驚くべき個性と相互関係を急速に発達させる。だが誰が演出家を務めようとも,大詰めの結末はいつも同じになる。結果が大幅に変わりうるカオス系でも,初期条件が同じであれば常に同じ結果にたどり着く。数学にこれほどの著しい一体性を与えているのは,この必然性だ。そして舞台袖には,数学的対象の根本的正体と数学知識の獲得に関する難しい諸問題が隠れている。